Question

中心在原点，其中一个焦点为F（0,5根号2）的椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为1/2，求椭圆方程

这题我有点乱，解答步骤一步步都写出来

Answer 1

令椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
∵椭圆的一个焦点为F（0,5根号2）
∴b^2-a^2=c^2=50，b^2=a^2+50
椭圆方程：x^2/a^2+y^2/(a^2+50)=1
(a^2+50)x^2 + a^2y^2 - a^2(a^2+50) = 0
将y=(3x-2)代入(a^2+50)x^2 + a^2y^2 - a^2(a^2+50) = 0
(a^2+50)x^2 + a^2(3x-2)^2 - a^2(a^2+50) = 0
(10a^2+50)x^2 -12a^2x - a^2(a^2+46) = 0
椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为1/2
(x1+x2)/2 = 1/2
x1+x2 = 1
根据韦达定理：
x1+x2 = 12a^2/(10a^2+50) = 1
12a^2 = 10a^2+50
a^2 = 25
b^2 = a^2+50 = 75
椭圆方程：x^2/25 + y^2/75 = 1

Answer 2

由已知可设椭圆方程为x²/b²+y²/a²=1
将y=3x-2代入
(1/b²+9/a²)*x²-(12/a²)x+4/a²-1=0
设交点为(x1,y1) 和(x2,y2)
由韦达定理知x1+x2=(12/a²)/(1/b²+9/a²)=2*(1/2)=1
所以12/a²=1/b²+9/a²
即a²=3b² （1）
因焦点为F（0,5根号2）
则c=5根号2 c²=50
即a²-b²=c²=50 (2)
联立(1)(2)解得a²=75 b²=25
所以椭圆方程为x²/25+y²/75=1

Answer 3

焦点在Y轴，设椭圆方程为：y^2/b^2+x^2/a^2=1,(b>a>0),直线y=3x-2与椭圆相交于A（x1,y1),B(x2,y2)两点，
b^2-a^2=c^2=50,
a^2=b^2-50,
y^2/b^2+x^2/(b^2-50)=1,
y1^2/b^2+x1^2/(b^2-50)=1,(1)
y2^2/b^2+x2^2/(b^2-50)=1,(2)
(1)-(2)式，
(y1^2-y2^2)/b^2+(x1^2-x^2)/(b^2-50)=0,
[(y1-y2)/(x1-x2)]*[(y1+y2)/2/(x1+x2)/2]+b^/(b^2-50)=0,(3)
(y1-y2)/(x1-x2)=k=3,
设中点坐标为M（x0,y0),x0=(x1+x2)/2=1/2,
y0=3x0-2=-1/2,y0=(y1+y2)/2,
代入（3）式，
3*(-1/2)/(1/2)+b^2/(b^2-50)=0,
b^2=75,
a^2=b^2-50=25,
∴椭圆的方程为：y^2/75+x^2/25=1.