Question

已知函数f（x），当x，y∈R时，满足f（x+y）=f（x）+f(y)

（1）求f（0）的值
（2）求证函数f（x）是奇函数
（3）若x>0时f（x)<0,且f（1）= -1/3，试求函数f（x）在区间[-2,6]上的最值

Answer 1

（1）当x，y∈R时，满足f（x+y）=f（x）+f(y),取x=y=0
f（0+0）=f（0）+f(0),f(0)=0
（2）取y=-x，f（x+y）=f（x）+f(y)，f（x）+f(-x)=f（0）=0，f（x）= -f（-x）
所以函数f（x）是奇函数
（3）x>0时，2x>x
f（2x）=f（x）+f（x），f（2x）-f（x）=f（x）<0, f（2x）<f（x）,所以f（x）在x>0时是减函数且小于0，函数f（x）是奇函数，所以f（x）在x>0时是增函数，且大于0
函数f（x）在区间[-2,6]上的最值=f（-2）=-f（2）=-(f(1)+f(1))=2/3

Answer 2

(1)
f（x+y）=f（x）+f(y)
f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0

(2)
f（x+y）=f（x）+f(y)
设X=-2y
f(x+y)=f(x)+f(y)也成立
f(-y)=f(-2y)+f(y)=f(-y)+f(-y)+f(y)
f(-y)+f(y)=0
f(-y)=-f(y)
所以f(x)是奇函数

（3）
x>0时f（x)<0
所以x<0时f(x)>0
所以x=-2时有最大值，x=6时有最小值
最大值f(-2)=-f(1)-f(1)=2/3
最小值f(6)=f(1)+f(1)+f(1)+f(1)+f(1)+f(1)=-2

Answer 3

这题做N边了吧。。
1'令x=y=o
f（0）=f(0)+f(0)=2f(0)
so f(0)=0
2'令y=-x
f(0)=f(x)+f(-x)=0
f(x)=-f(-x)
so 奇函数
3‘ 让我先做一下。

Answer 4

[[1]]
f(0)=0
[[2]]
可设x+y=0
0=f(0)=f(x+y)=f(x)+f(-x)
∴f(x)+f(-x)=0
[[3]]
f(x)max=f(-2)=-f(2)=2/3
f(x)min=f(6)=-2

Answer 5

(1)令X,Y都为0，则f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0