Question

如图,半圆的直径AB=5,弦AC=3,将半圆沿着AD折叠后弦AC恰好落在AB上,则折痕AD的长为

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Answer 1

解答要点：

设C在AB上的对称点是E，CE交AD于F，连接CD、BD，作EG⊥BD

则有AE＝AC＝3，CE⊥AD，CF＝EF

因为AB是直径

所以 BD⊥AD

所以EF/BD＝AE/AB＝3/5

设EF＝CF＝3X，则BD＝5X

因为∠CAD＝∠BAD

所以CD＝BD＝5X

所以EG＝DF＝4X

而BG＝5X－3X＝2X

三角形BEG中有：BG^2+EG^2=BE^2

所以(4X)^2+(2X)^2=2^2

解得：X＝√5/5

所以DF＝4√5/5，EF=3√5/5

而AF^2=AE^2-EF^2=36/5

所以AF＝6√5/5

所以AD＝DF+AF＝2√5

江苏吴云超解答  供参考！

Answer 2

解：连结BC，作AD中点E，记圆心为O，连结OE

则由题意可知AD是∠CAB的平分线

即∠CAB=2∠DAB

又直径AB=5，AC=3，∠ACB=90°

则在Rt△ABC中，cos∠CAB=AC/BC=3/5

即cos(2∠DAB)=3/5

2cos²∠DAB-1=3/5

cos²∠DAB=4/5

解得cos∠DAB=2√5/5

则在Rt△AOE中，cos∠DAB=AE/OA

即AE/(5/2)=2√5/5

解得AE=√5

所以AD=2AE=2√5