Question

如图，已知，D为△ABC中BC上的一点，且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证 AC=2AE！！ 我已经用倍

如图，已知，D为△ABC中BC上的一点，且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证 AC=2AE！！
我已经用倍长把AE延到了F，又连接了FB！下面该咋做呀？？？好心人帮帮忙....
不要用中位线和平行四边形之类的，因为我还没学……角互相倒来倒去是不是就能到出来呢？不知道……总之过程请写清楚些，拜托了……

Answer 1

延长AE到F，使EF=AE，连接DF
∵AE是△ABD的中线
∴BE=ED
在△ABE与△FDE中
BE=DE
∠AEB=∠DEF（对顶角相等）
AE=EF
∴△ABE≌△FDE（SAS）
∴AB=DF,∠BAE=∠EFD
∵∠ADB是△ADC的外角
∴∠DAC=∠ACD=∠ADB=∠BAD
∴∠BAE+∠EAD=∠BAD
∠BAE=∠EFD
∴∠EFD+∠EAD=∠DAC=∠ACD
∴∠ADF=∠ADC
在△ADF与△ADC中
AD=AD
∠ADF=∠ADC
FD=DC
∴△ADF≌△ADC（SAS）
∴AF=AC
∵AF=AE+EF
AE=EF
∴AC=2AE
一定是对的！

Answer 2

延长AE到F，使EF=AE，连接DF
∵AE是△ABD的中线
∴BE=ED
在△ABE与△FDE中
BE=DE
∠AEB=∠DEF（对顶角相等）
AE=EF
∴△ABE≌△FDE（SAS）
∴AB=DF,∠BAE=∠EFD
∵∠ADC是△ABD的外角
∴∠ADC=∠B+∠BAD
∵∠ADF=∠BDF+∠ADB
∠B=∠BDF ∠BAD=∠ADB
∴∠ADF=∠ADC
在△ADF与△ADC中
AD=AD
∠ADF=∠ADC
FD=DC
∴△ADF≌△ADC（SAS）
∴AF=AC
∵AF=AE+EF
AE=EF
∴AC=2AE

Answer 3

证明：延长AE到F，使EF=AE，连结BF，
下面就证三角形BEF全等于三角形DEA，可得BF=AD，角F=角EAD，
接着再证三角形ABF全等于三角形ADC，这样可得：AF=AC，
问题得到了解决。

追问

如何证明出∠ABF=∠ADC？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？

追答

角ABF=角ABD+角FBD=角ABD+角BDA=角ABD+角BAD=角ADC。

Answer 4

在做这类题时要学会画图，可惜图片无法插上，以下答案可参考
因为 ∠BDA=∠BAD 所以 BA=BD
因为 CD=AB 所以 AB=CD，所以AB=1/2BC
因为AE是△ABD的中线，所以BE=1/2AB
所以AB/BC=BE/AB=1/2
因为△ABE与△ABC共用一个角∠ABD 所以AE/AC=BE/AB=1/2
所以AC=2AE

追问

因为△ABE与△ABC共用一个角∠ABD 所以AE/AC=BE/AB=1/2
这一步请解释解释，我不太懂……

追答

这个是相似三角形的原理
因为AB/BC=BE/AB=1/2，又因为∠ABE=∠CBA
所以△ABE与△CBA相似
所以AB/BC=BE/AB=AE/AC=1/2
所以AC=2AE

参考资料： 相似三角形的原理

Answer 5

因为 ∠BDA=∠BAD 所以 BA=BD
因为 CD=AB 所以 AB=CD，所以AB=1/2BC
因为AE是△ABD的中线，所以BE=1/2AB
所以AB/BC=BE/AB=1/2
因为△ABE与△ABC共用一个角∠ABD 所以AE/AC=BE/AB=1/2
所以AC=2AE

追问

因为△ABE与△ABC共用一个角∠ABD 所以AE/AC=BE/AB=1/2
这一步请解释解释，我不太懂……