Question

已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=a4+2，且a1，a2-1，a3-1成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的

已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=a4+2，且a1，a2-1，a3-1成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{1anan+1}的前n项和为Tn，求证：13≤Tn＜12（n∈N*）

Answer 1

（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d（d≠0），
∵S₃=a₄+2，∴3a1+

3×2×d

2

＝a1+3d+2．①…（3分）
又∵a₁，a₂-1，a₃-1成等比数列，
∴a1(a1+2d?1)＝(a1+d?1)2．②…（5分）
由①②解得a₁=1，d=2．…（6分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．…（7分）
（Ⅱ）∵

1

anan+1

＝

1

(2n?1)(2n+1)

＝

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1

)，…（8分）
∴Tn＝

1

2

[(1?

1

3

)+(

1

3

?

1

5

)+(

1

5

?

1

7

)+…+(

1

2n?1

?

1

2n+1

)]
=

1

2

(1?

1

2n+1

)．…（10分）
∴当n=1时，T1＝

1

2

(1?

1

2×1+1

)＝

1

3

，
当n＞1时，Tn＜

1

2

，
∴

1

3

≤Tn＜

1

2

(n∈N*)．…（12分）