Question

如图甲所示，质量为1kg的滑块（可视为质点）在离地面高h=1m的A点沿光滑弧形轨道以初速度v0=4m/s开始下滑

如图甲所示，质量为1kg的滑块（可视为质点）在离地面高h=1m的A点沿光滑弧形轨道以初速度v0=4m/s开始下滑，通过水平轨道BC后，再沿着光滑的半圆轨道运动．已知滑块与水平轨道BC间的动摩擦因数μ=0.10，半圆轨道半径为R，且C、O、D三点在同一竖直线上，设水平轨道长BC=x，所有轨道均平滑连接，不计空气阻力，g取10m/s2．求：（1）若x=2m，则滑块到达C点的动能是多大？（2）若滑块经过D点时对圆轨道的压力FD与水平轨道长x之间关系图象如图乙所示，则光滑半圆轨道的半径是多大？（3）在满足（2）问的情况下，滑块离开D点后作平抛运动，落地点（图中未标出）离C点的距离为水平轨道BC总长x的23倍，求此情况下水平轨道BC总长x．

Answer 1

解 （1）A到C过程，由动能定理得：
mgh-μmgx=E_kc-

1

2

mv₀²，
带入数据解得：E_kc=16J；
（2）设滑块到达D点的速度大小为v_D，轨道对其压力为F_D′，A到D过程，由动能定理得：
mgh-μmgx-mg?2R=

1

2

mv_D²-

1

2

mv₀²，
在D点，由牛顿第二定律得：F_D+mg=m

v 2 D

R

，
根据牛顿第三定律可知，即F_D=F_D′，
由图乙可知，F_D=22-4x，
代入上面两式，解得：R=0.5m；
（3）滑块离开D点后做平抛运动，设在空中飞行的时间为t，
水平方向：

2

3

x=v_Dt，
竖直方向：2R=

1

2

gt²，
将F_D′+mg=m

v 2 D

R

，F_D=22-4x，R=0.5m，
代入上面两式得：5x²+9x-72=0，
解得水平轨道BC总长为：x=3m；
答：（1）若x=2m，则滑块到达C点的动能是16J；
（2）光滑半圆轨道的半径是0.5m；
（3）此情况下水平轨道BC总长为3m．