Question

如图，在△ABC中，∠B=60°，AD，CE是△ABC的角平分线，且交于点O．求证：AC=AE+CD

如图，在△ABC中，∠B=60°，AD，CE是△ABC的角平分线，且交于点O．求证：AC=AE+CD．

Answer 1

证明：在AC上取AF=AE，连接OF，
∵AD平分∠BAC、
∴∠EAO=∠FAO，
在△AEO与△AFO中，

AE＝AF  ∠EAO＝∠FAO  AO＝AO

，
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∴∠AOE=∠AOF；
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠ECA+∠DAC=

1

2

∠ACB+

1

2

∠BAC=

1

2

（∠ACB+∠BAC）=

1

2

（180°-∠B）=60°，
则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；
∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，
则∠COF=60°，
∴∠COD=∠COF，
∴在△FOC与△DOC中，

∠COD＝∠COF  CO＝CO  ∠FCO＝∠DCO

，
∴△FOC≌△DOC（ASA），
∴DC=FC，
∵AC=AF+FC，
∴AC=AE+CD．