Question

已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+d．（1）求f（x）的单调区间；（2）如果f（x）在区间[-2，2]上的最小值为-4，

已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+d．（1）求f（x）的单调区间；（2）如果f（x）在区间[-2，2]上的最小值为-4，求实数d以及在该区间上的最大值．

Answer 1

（1）由f（x）=-x³+3x²+9x+d，得：f′（x）=-3x²+6x+9．
令f′（x）＜0，即-3x²+6x+9＜0．
解得：x＞3或x＜-1．
再令f′（x）＞0，即-3x²+6x+9＞0．
解得-1＜x＜3．
所以该函数的单调递减区间为（-∞，-1），（3，+∞）；
单调递增区间为（-1，3）．
（2）令f′（x）=0，得到x=-1或x=3（舍）．
由（1）知道该函数在[-2，-1]上递减，在[-1，2]上递增，
那么，最小值为f（-1）=d-5=-4，所以d=1．
所以，f（x）=-x³+3x²+9x+1．
而f（-2）=-（-2）³+3×（-2）²+9×（-2）+1=3，
f（2）=-2³+3×2²+9×2+1=23．
所以函数f（x）的最大值为23．