Question

学了一元二次方程的根与系数的关系后，小亮兴奋地说：“若设一元二次方程的两个根为x1，x2，就能快速求出

学了一元二次方程的根与系数的关系后，小亮兴奋地说：“若设一元二次方程的两个根为x1，x2，就能快速求出1x1+1x2，x12+x22，…的值了．比如设x1，x2是方程x2+2x+3=0的两个根，则x1+x2=-2，x1x2=3，得1x1+1x2＝x1+x2x1x2＝?23．”（1）小亮的说法对吗？简要说明理由；（2）写一个你最喜欢的一元二次方程，并求出两根的平方和．

Answer 1

（1）小亮的说法不对．
若有一根为零时，就无法计算

1

x1

+

1

x2

的值了，因为零作除数无意义．

（2）所喜欢的一元二次方程x²-5x-6=0．
设方程的两个根分别为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=5，x₁?x₂=-6．
又∵x₁²+x₂²=x₁²+x₂²+2x₁x₂-2x₁x₂=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
将x₁+x₂=5，x₁?x₂=-6代入，得
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
=5²-2×（-6）
=37．