Question

如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别另作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．（1）求证：四边

如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别另作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）在△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形；（3）对于任意△ABC，四边形ADEF是否总存在？

Answer 1

解答：证明：（1）∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，AB=BD，BC=BE．
∴△ABC≌△DBE．
∴DE=AC．
又∵AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得EF=AD．
∴四边形ADEF是平行四边形．

（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴当∠DAF=90°时，四边形ADEF是矩形，∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．
则当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；

（3）不一定，当∠BAC=60°时，∠DAF=180°，不存在四边形ADEF．