Question

设函数f（x）=1?a2x2+ax-lnx（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）过点P（1，1），求曲线y=f（x）在点P处的切线

设函数f（x）=1?a2x2+ax-lnx（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）过点P（1，1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）曲线y=f（x）过点P（1，1），则a=1，f(x)＝x?lnx， f′(x)＝1?

1

x

＝

x?1

x

．∵f'（1）=0，∴曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=1．---------------（4分）
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞）f′(x)＝(1?a)x+a?

1

x

＝

(1?a)x2+ax?1

x

＝

[(1?a)x+1](x?1)

x

-------------（5分）
当a=1时，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-

1

x

=

x?1

x

，得x＞1，
∴x∈[1，2]时f'（x）≥0，f（x）单调递增，f（x）_max=f（2）=2-ln2；
当1-a＞0即a＜1时，f'（x）=0的两根为1，

1

a?1

，且1＞

1

a?1

，∴x∈[1，2]时f'（x）≥0，f（x）单调递增，f（x）_max=f（2）=2-ln2；
当1-a＜0即a＞1时，f'（x）=0的两根为1，

1

a?1

，
①当 1≥

1

a?1

即a≥2时，x∈[1，2]时f'（x）≤0，f（x）单调递减，f(x)max＝f(1)＝

a+1

2

；
②当1＜

1

a?1

即1＜a＜2时，x∈(1，

1

a?1

)时f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈(

1

a?1

，+∞)时f'（x）＜0，f（x）单调递减．
若

1

a?1

≥2即1＜a≤

3

2

时，x∈[1，2]时f（x）单调递增，f（x）_max=f（2）=2-ln2；
若

1

a?1

＜2，即

3

2

＜a＜2时，f(x)max＝f(

1

a?1

)＝

2a?1

2(a?1)

+ln(a?1)；
综上，f(x)max＝

2?ln2，a≤ 3 2 2a?1 2(a?1) +ln(a?1)， 3 2 ＜a＜2 a+1 2 ，a≥2

．---------------------------（12分）