Question

如图,△ABC的内切圆○O分别与AB,BC,AC相切于,N、D、EF与○O相切于P,分别找出角AOB

如图,△ABC的内切圆○O分别与AB,BC,AC相切于，N、D、EF与○O相切于P，分别找出角AOB与角C，角EOF与角C的数量关系并证明
。

Answer 1

（1）找出∠AOB与∠C的数量关系
因为圆O是△ABC的内切圆
所以AO、BO分别是∠BAC、∠ABC的平分线
所以∠OAB=(1/2)*∠BAC，∠OBA=(1/2)*∠ABC
所以∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA
=180°-(1/2)*∠BAC-(1/2)*∠ABC
=90°+(1/2)*(180°-∠BAC-∠ABC)
=90°+(1/2)*∠C
（2）找出∠EOF与∠C的数量关系
因为圆O与AE、EF、BF分别相切于D、P、N
所以EO、FO分别是∠AEF、∠BFE的平分线
所以∠OEF=(1/2)*∠AEF，∠OFE=(1/2)*∠BFE
所以∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE
=180°-(1/2)*∠AEF-(1/2)*∠BFE
=180°-(1/2)*(180°-∠CEF)-(1/2)*(180°-∠CFE)
=180°-90°+(1/2)*∠CEF-90°+(1/2)*∠CFE
=(1/2)*(∠CEF+∠CFE)
=(1/2)*(180°-∠C)
=90°-(1/2)*∠C

追问

如图,圆O的半径OD平分弦AB，直径l过点D，且l平分AB，求证：l是圆O的切线