Question

已知:如图所示,AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F,FD=CD.

（1）若BF=AC，求证BE⊥AC；
（2）若BE⊥AC，求证：BF=AC。

Answer 1

证明：
①
∵AD是△ABC的高
∴∠BDF=∠ADC=90°
又∵FD=CD，BF=AC
∴Rt△BDF≌RT△ADC（HL）
∴∠BFD=∠C
∵∠BFD+∠DBF=90°
∴∠C+∠DBF=90°
∴∠BEC=90°
即BE⊥AC
②
∵BE⊥AC
∴∠BEF=90°
∴∠CBE+∠C=90°
∵AD是高
∴∠ADC=90°
∴∠DAC+∠C=90°
∴∠CBE=∠DAC
又∵∠BDF=∠ADC=90°，FD=CD
∴△BDF≌△ADC（AAS）
∴BF=AC