Question

如图,已知AB为圆O的直径,AC,AE为圆O的弦,若AC平分∠BAE,过点C作CD⊥AE,垂足为D,则

如图,已知AB为圆O的直径,AC,AE为圆O的弦,若AC平分∠BAE,过点C作CD⊥AE,垂足为D,则DC是圆O的切线吗？为什么？

Answer 1

解：DC是圆O的切线，理由：
连CO,
因为AC平分∠BAE
所以∠EAC=∠CAB,
因为OA=OC,
所以∠CAB=∠ACO,
所以∠EAC=∠ACO,
所以AD∥CO,
因为CD⊥AE
所以CD⊥OC,
因为D在圆上
所以DC是圆O的切线

Answer 2

过C点作CD的垂直线交AB于F，
则CF∥AD，∠CAE＝∠ACF（平等线的内错角）
又∵AC是EAB的角平分线，∴∠EAC＝∠FAC
因此：在△AFC中，∠ACF＝∠FAC，△AFC是等腰三角形。AF＝CF（都是半径），点F为圆心。
DC的垂线过圆的圆心，∴DC是这个圆的切线。