Question

设函数f(x)对于任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),且有x〉0时，f(x)〈0，f(1)=-2.

（1）问 x在【-3，3】中有无最大值，有求出，无说明理由
（2）解不等式1/2f(x2)-f(x)〉1/2f(3x)
ps:这道题前面还有几道题，但影响不大，就是说明f(0)=o和此函数为奇函数。

Answer 1

（1）首先判断f(x)增减性
任取t>0
有f(x+t)=f(x)+f(t),也就是说f(x+t)-f(x)=f(t)
根据题意t>0时f(t)<0
所以f(x+t)-f(x)<0，显然x+t>x
那么就可以得出结论f(x)在定义域内递减
也就是说f(3)是f(x)最小值，f(-3)是f(x)最大值
f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=-2+(-2)+(-2)=-6
因为f(x)是奇函数，所以f(-3)=-f(3)=6
所以f(x)在【-3，3】上的最大值是f(-3)=6,最小值是f(3)=-6
第二问写得不清楚，无法解答，不过基本方法应该就是利用函数的单调性解不等式
希望能帮到你，有问题再找我

追问

第一问的总体思路清楚了 但是有个问题 为什么f(3)=f(1+2) 为什么要把3拆成1+2？ 难道别的不行吗？
第二问是二分之一倍f括号x的平方-f（x）大于二分之一倍f（3x） 我就是不晓得x的平方怎么弄

追答

不等式两边同乘以2，得
f(x^2) - 2f(x) > f(3x)
即 f(x^2) - f(x) > f(3x) + f(x)
即 f(x^2) + f(-x) > f(3x) + f(x)
即 f(x^2 - x) > f(3x + x)
即 f(x^2 - x) > f(4x)
又f(x)在定义域内递减
所以 x^2 - x < 4x
即 x^2 - 5x < 0
解得 0<x<5