Question

高数微积分极限一章：lim(sin√x-sin√(x+1)) x趋向于无穷，求证其极限为0 给出详细过程

如果高中没学和差化积、积化和差公式，那要怎么做

Answer 1

sin√x-sin√(x+1)=2cos{1/2[√x+√(x+1)]}sin{1/2(√x-√(x+1))}
当x趋向于无穷时候(√x-√(x+1)的极限为0，具体做法是乘他的共轭根式恒等变形为1/([√x+√(x+1)]。根据无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量可以得lim(sin√x-sin√(x+1))=0

Answer 2

lim（x→∞）(sin√x-sin√(x+1))
=lim（x→∞）2cos[(√x+√(x+1)) /2]sin[(√x-√(x+1)) /2]
由于x→∞时，cos[(√x+√(x+1)) /2]是有界函数，而sin[(√x-√(x+1)) /2→0，故
=lim（x→∞）2cos[(√x+√(x+1)) /2]sin[(√x-√(x+1)) /2]
＝0

追问

lim（x→∞）(sin√x-sin√(x+1))
=lim（x→∞）2cos[(√x+√(x+1)) /2]sin[(√x-√(x+1)) /2]
这一步怎么转换得来，请详细解说，有点转不过来

追答

这个是三角函数和差化积公式

请参考
http://tieba.baidu.com/p/1228926006

Answer 3

由三角函数和差化积公式
原式=lim{x->∞}2sin(√x-√x+1)/2*cos(√x+√x+1)/2=lim{x->∞}2sin[-1/2(√x+√x+1)]*cos(√x+√x+1)/2=0
最后一个等式是因为无穷小sin[-1/2(√x+√x+1)]与有界函数cos(√x+√x+1)/2的乘积仍然是无穷小, 即极限为0

Answer 4

高中怎么会没学这个？没有和差化积这种基本的公式是无法作的

追问

你以为全国每个地区都学一样的东西呀，考试大纲都不一样

追答

我只能说，没有和差化积，真没法做这个。而且三角函数及其公式，不学真得很奇怪。虽然我同意各地 大纲不一样，不过这些公式也太重要了