Question

设集合A(p,q)={X∈R/x^2+px+q=0},当实数p,q取遍[-1,1]的所有值时，所有集合A（p,q)的并集为?

Answer 1

集合A(p,q)={X∈R/x^2+px+q=0}中有条件X∈R，即方程有实数解，则须满足Δ≥0，
得不等式p^2≥4q，由作图法做出y=x^2(即p^2)和y=4x(即4q)的图像，定义域均为[-1,1]，
满足不等式p^2≥4q的区域只有q∈[-1,0]，而p的范围为[-1,1]，因为在第一象限y=x^2的值均比y=4x的小。故所求集合为A(p,q)={q∈[-1,0]，p∈[-1,1]}。注意p、q初始取值范围均为[-1,1]。

Answer 2

本题的实质是，当实数p,q取遍[-1,1]的所有值时，x的范围为多少，即为所求并集
x^2 px q=0
求根公式
x1=(-p √(p^2-4q))/2 x2=(-p-√(p^2-4q))/2
即-p尽可能大√(p^2-4q)也是尽可能大时x最大
视p为常数
则q=-1时
p^2-4q最大值为4 p^2
即x1max=(-p √(p^2 4))/2 ①
即易得p=-1时x1max=(1 √5)/2
即Xmax=(1 √(1 4))/2=x1=(1 √5)/2
同理当x2取最小值是集合最小```
即x2中-q最小且-√(p^2-4q)最小
即 x2min=-(p √(p^2-4q))/2中(p √(p^2-4q)最大
由刚才①得
(p √(p^2-4q)最大值为1 √5
即xmin= -(1 √5)/2

Answer 3

由条件，集合A必须满足P^2-4q>=0,P，q均在[-1 1]内，以p为横坐标，q为纵坐标，建立函数图象。最终得到的是一个区域面积，相当于凹形水槽横截面图形。