Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1+a2=16且Sn=2Sn-1+n+4（n≥2，n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式an；（

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1+a2=16且Sn=2Sn-1+n+4（n≥2，n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）令bn=nan，求{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）∵S_n=2S_n-1+n+4，n≥3时，S_n-1=2S_n-2+n+3，
相减得，S_n-S_n-1=2（S_n-1-S_n-2）+1，即a_n=2a_n-1+1，
从而a_n+1=2（a_n-1+1），
当n=2时，S₂=2S₁+6即a₂-a₁=6，又a₁+a₂=16，
∴a₁=5，a₂=11，
即a₂+1=2（a₁+1），
∴n≥2有a_n+1=2（a_n-1+1），
又a₁=5，a₁+1=6，
∴{a_n+1}是以6为首项，2为公比的等比数列，即a_n+1=6×2^n-1，∴a_n=3×2ⁿ-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=n（3×2ⁿ-1），则
T_n=（3×2-1）+2×（3×2²-1）+…+n（3×2ⁿ-1）=3×（2+2×2²+..+n?2ⁿ）-（1+2+…+n）
设F_n=2+2×2²+..+n?2ⁿ，①
2F_n=2²+2×2³+…+（n-1）?2ⁿ+n?2ⁿ⁺¹，②
②-①得，F_n=--2-2²-2³-…-2ⁿ+n?2ⁿ⁺¹=2+（n-1）?2ⁿ⁺¹，
∴T_n=3F_n-（1+2+…+n）=3（n-1）?2ⁿ⁺¹-

n(n+1)

2

+6．