Question

已知函数f（x）=tan（2x+π4）．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）设α∈（0，π4），若f（α2）

已知函数f（x）=tan（2x+π4）．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）设α∈（0，π4），若f（α2）=2cos 2α，求α的大小．

Answer 1

（1）由2x+

π

4

≠

π

2

+kπ，k∈Z，得：x≠

π

8

+

kπ

2

，k∈Z，所以f（x）的定义域为{x|x≠

π

8

+

kπ

2

，k∈Z}，f（x）的最小正周期为

π

2

；
（2）由f（

α

2

）=2cos2α，得tan（α+

π

4

）=2cos2α，

sin(α+ π 4 )

cos(α+ π 4 )

=2（cos²α-sin²α），
整理得：

sinα+cosα

cosα-sinα

=2（cosα+sinα）（cosα-sinα），
因为α∈（0，

π

4

），所以cosα+sinα≠0，
因此（cosα-sinα）²=

1

2

，即sin2α=

1

2

．
由α∈（0，

π

4

），知2α∈（0，

π

2

），
所以2α=

π

6

，α=

π

12

．