Question

已知数列{an}中，a1=3，an-an-1=（2-n）?2n-1（n≥2，n∈N*）．（1）设cn=an-2n，求cn；（2）记n×（n-1

已知数列{an}中，a1=3，an-an-1=（2-n）?2n-1（n≥2，n∈N*）．（1）设cn=an-2n，求cn；（2）记n×（n-1）×…×2×1=n!，求数列{nan}的前n项和Sn．

Answer 1

（Ⅰ）∵a₁=3，a_n-a_n-1=（2-n）?2^n-1（n≥2，n∈N^*）．
∴a₂-a₁=0?2¹，a₃-a₂=-1?2²，a₄-a₃=-2?2³，…a_n-a_n-1=（2-n）?2^n-1（n≥2，n∈N^*）．
两边同时相加得a_n-a₁=0?2¹-1?2²-2?2³，…-（2-n）?2^n-1．
设b_n=0?2¹-1?2²-2?2³，…-（2-n）?2^n-1．
则2b_n=0?2²-1?2³-2?2⁴，…-（2-n）?2ⁿ．
两式相减得b_n=0?2¹+2²+2³+…+2^n-1-（2-n）?2ⁿ=1+

4(1?2n?2)

1?2

-（2-n）?2ⁿ=1+2ⁿ-4-（2-n）?2ⁿ=（n-1）?2ⁿ-3，
∴a_n-a₁=（n-1）?2ⁿ-3，
即a_n=（n-1）?2ⁿ，
∵c_n=a_n-2ⁿ，
∴c_n=a_n-2ⁿ=（n-1）?2ⁿ-2ⁿ=（n-2）?2ⁿ，
（Ⅱ）a_n-2ⁿ=na_n-1-n2^n-1=n（a_n-1-2^n-1），令c_n=a_n-2ⁿ，则c_n=nc_n-1．
而c₁=1，
∴c_n=n（n-1）?…?2?1?c₁=n（n-1）?…?2?1．
∴a_n=n（n-1）?…?2?1+2ⁿ．
na_n=n?n?（n-1）?…?2?1+n2ⁿ=（n+1）!-n!+n?2ⁿ，
∴S_n=（2!-1!）+（3!-2!）+…+（n+1）!-n!+（1×2+2×2²+…+n×2ⁿ）．
令T_n=1×2+2×2²+…+n×2ⁿ，①
则2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹．②
①-②，得-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹，T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
∴S_n=（n+1）!+（n-1）2n+1+1．