Question

满足不等式【x-(a+1)^2/2】^2≤(a-1)^4/4的x值也满足不等式x^2-3(a+1)+2(3a+1)≤0，求a的取值范围

Answer 1

一、由［x－（a＋1）^2/2］^2≦（a－1）^4/4，得：
　　－（a－1）^2/2≦x－（a＋1）^2/2≦（a－1）^2/2，
　　∴［（a＋1）^2－（a－1）^2］/2≦x≦［（a＋1）^2＋（a－1）^2］/2，
　　∴2a≦x≦a^2＋1。······①
二、由x^2－3（a＋1）＋2（3a＋1）≦0，得：（x－2）［x－（3a＋1）］≦0。
　　∴当3a＋1≧2时，有：2≦x≦3a＋1。······②
　　　当3a＋1≦2时，有：3a＋1≦x≦2。······③

∵不等式［x－（a＋1）^2/2］^2≦（a－1）^4/4 与 x^2－3（a＋1）＋2（3a＋1）≦0同解，
∴①、②同时成立；　　或①、③同时成立。

由①、②同时成立，得：2a＝2、且a^2＋1＝3a＋1。
∵2a＝2，∴a＝1。　此时：a^2＋1＝2，　3a＋1＝4。即：a^2＋1＝3a＋1不能成立，
∴①、②同时成立是错误的，应舍去。

由①、③同时成立，得：2a＝3a＋1、且a^2＋1＝2。
∵2a＝3a＋1，∴a＝－1。　此时：a^2＋1＝2。满足题意。

综上所述，满足条件的a的值为－1。