Question

大家帮个忙！！！！ lim〖(1+x乘以2的x次方)/(1+x乘以3的x次方)〗(1/x^2)次方（x无限趋近于0） 谢谢

Answer 1

解：原式=lim(x->0){[1+(1+x2^x)/(1+x3^x)-1]^(1/x²)}
=lim(x->0){[(1+x(2^x-3^x)/(1+x3^x))^((1+x3^x)/(x(2^x-3^x)))]^[(2^x-3^x)/(x(1+x3^x))]}
={lim(x->0)[(1+x(2^x-3^x)/(1+x3^x))^((1+x3^x)/(x(2^x-3^x)))]}^{lim(x->0)[(2^x-3^x)/(x(1+x3^x))]}
=e^{lim(x->0)[(2^x-3^x)/(x(1+x3^x))]} (应用重要极限lim(z->0)[(1+z)^(1/z)]=e)
=e^{lim(x->0)[1/(1+x3^x)]*lim(x->0)[(2^x-3^x)/x]}
=e^{lim(x->0)[(2^x-3^x)/x]}
=e^[lim(x->0)(2^x*ln2-3^x*ln3)] (0/0型极限，应用罗比达法则)
=e^(ln2-ln3)
=2/3。