Question

设二次方程a(n)x^2-a(n+1)x+1=0(n∈N*)有两个实数根α、β,且满足6α-2αβ+6β=3 （1）试用an表示an+1

（2）求证：{an-2/3}是等比数列
（3）当a1=7/6时，求数列{an}的通项公式
急！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

Answer 1

解：（1）由韦达定理得αβ=1/an,α+β=a(n+1)/an,又6α-2αβ+6β=3，∴6a(n+1)-2=3an.
∴a(n+1)=(an/2)+(1/3)
(2)由a(n+1)=(an/2)+(1/3)得2[a(n+1)-(2/3)]=an-(2/3),故{an-2/3}是公比为1/2的等比数列
（3）a1=7/6,∴a1-2/3=1/2
∴an-2/3=1/2*(1/2)^(n-1)=(1/2)^n ,故an=2/3+(1/2)^n

Answer 2

(1)由韦达定理：6(α+β)-2αβ=3
6(a(n+1)/a(n))-2/a(n)=3
得 6a(n+1)-2=3a(n) (*)
(2)由星式得2a(n+1)-2/3=a(n)
即2(a(n+1)-2/3)=a(n)-2/3
显然为以2为公比的等比数列
解得an-2/3=(a1-2/3)*2∧(n-1)
(3) a1=7/6代入
解得an=2∧(n-2)+2/3
有些仓促，检验一下吧

Answer 3

(1)由韦达定理及已知式易得a(n+1)=a(n)/2+1/3。
（2）证：由a(n+1)=a(n)/2+1/3得a(n+1)-2/3=[a(n)-2/3]/2，
∴当a1-2/3≠0时，{an-2/3}是等比数列，公比为1/2。
（3）当a1=7/6时，a1-2/3=1/2，
∴an-2/3=(1/2)ⁿ，即an=2/3+(1/2)ⁿ。