Question

考研数学：函数极限存在的一个小问题~谢谢

判断题：若f(x) x→x0存在，则|f(x)| x→x0也存在（正确），为什么呢？

Answer 1

f(x) x→x0存在，当f（x）在f（x）=0处单调且连续可导时，|f(x)|在此处连续，左极限等于右极限等于0，左导数等于负的右导数。其他情况下|f(x)|也为连续可导函数。
f(x) x→x0存在，当f（x）在f（x）=0处连续但不可导时，|f(x)|在此处连续，左极限等于右极限等于0，仍旧不可导；
当f(x) x→x0存在，则lim|f(x)| x→x0=limf(x)x→x0，f(x)>0;lim|f(x)| x→x0=-limf(x)x→x0，f(x)<0；lim|f(x)| x→x0=0，f(x)=0，。
所以若f(x) x→x0存在，则|f(x)| x→x0也一定存在。

Answer 2

简单来说，lim x->x0- f(x)= lim x-> x0+ f(x)= f(x0)
取绝对值的话函数在x0点附近依旧连续，最多和原来的值差一个符号
则 lim x->x0- |f(x)|= lim x-> x0+ |f(x)|= |f(x0)|
所以|f(x)| x→x0极限存在

Answer 3

当f(x) x→x0存在，则lim|f(x)| x→x0=limf(x)x→x0，f(x)>0;lim|f(x)| x→x0=-limf(x)x→x0，f(x)<0；lim|f(x)| x→x0=0，f(x)=0，。
所以若f(x) x→x0存在，则|f(x)| x→x0也一定存在。

Answer 4

士、知