Question

如何计算线性方程组（非齐次）有解的概率！

如何计算线性方程组（非齐次）有解的概率！

我的问题可能比较怪，请数学高手们一定帮帮忙。

当一个线性方程组的未知数个数（列数），方程个数（行数），以及所有系数确定时，方程组是否有解就确定了 —— 只要判断系数矩阵和增广矩阵的秩是否相等即可。

以上是我已知的。

现在有一题说，假设线性方程组的未知数个数和方程个数已知（例如M x N），但增广矩阵中的所有数未知，不但未知，而且要令所有数都在例如[-9,9]中随机取值。

这样可能产生的不同的增广矩阵应该是有19的(M+1)xN次方那么多。（其中M+1意思是M是未知数个数，M+1就是算上等号右边的数的个数。）

由于系数是随机取值，因此形成的非齐次线性方程组可能无解，也可能有1或无数个解，即有解。

我想知道，能计算出有解的概率是多大吗？

我知道我提的问题可能数学用语很粗糙，或者干脆是个蠢问题。但是还是请这里的好心的数学达人不吝赐教。谢谢。
继续补充问题：

其实线性代数和概率结合，不是很牵强。只是国内的学校很少不联系实际。

这样吧，我把我的那道题再接近原版说说，可能大家会觉得有意思一点：

假设做一个姥糊机，就是类似那种三个苹果或者鸭梨排一排就吐钱的那种呵呵。

现在要设计这样一种堵勃机：

给定线性方程组的：未知数个数（列数），方程个数（行数）。然后用计算机为每一个系数（包括等号右边的）产生[-9,+9]之间的 随 机 整 数，以形成一个非齐次线性方程组。

这样的方程组，自然可能无解，或者有一个或无数解。

若无解，就吞掉押注钱，赌场老板赚钱，若有解，就吐出押注钱以及奖励金，玩家赚钱。

这样，赌场老板就需要事先算算，他赚钱或赔钱的概率！以及这个概率，与列数、行数有什么关系等。（假设计算机取随机数是均匀的）

这就是编程、线性代数（的一些皮毛），与概率（的一些皮毛）相结合的题目。

英国大学MSc的一道作业题。

麻烦数学好的老师帮我想想。同时我自己也在想！我不是留学垃圾～～

这道题，程序很好编。而且由于都是整数，计算矩阵的秩用高斯消去法就可以很稳定。但难就难在，在赌场营业之前，怎么计算老板盈亏的概率呢？……

Answer 1

第一步你就错了，千万别告我说你是数学专业的，[-9,9]取值是按照什么来取？是按照某种分布来取？还是什么的？你怎么能说产生的不同的增广矩阵应该是有19的(M+1)xN次方那么多。你这种问题问的好像把线性代数和概率统计结合到一起了，你不觉得很牵强吗，有点数学基础的人思维不应该有你这么大的漏洞，数学问题的提出都有自然生活的基础。
如果真想解决这类问题首先把书上的概念都深刻的理解一遍，比如矩阵的秩你按书上的定义那么理解后，你想想矩阵化为阶梯型后非零行的个数是什么？增广矩阵的秩和系数矩阵的秩差别在那里？增广矩阵的解唯一和系数矩阵只有零解等价吗？这些问题你都认真思考过嘛？

追问

我不是数学专业我差远了。计算机软件专业的。现在要应付这个题，所以不得不把本科时的数学拿出来复习。
我没有提问清晰：题目中说是让所有系数，包括等号右边的数，用计算机在 -9 到 +9 之 间 取 随 机 整 数。分布情况，估计是均匀的吧我想。
这样，增广矩阵应该是有19的(M+1)xN次方那么多了吧？还是又想错了？