Question

已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，AD ∥ BC，

已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，AD ∥ BC，则∠ABC=______；（2）如图2，以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAM=60°，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长．

Answer 1

（1）∵AD ∥ BC， ∴∠DAC=∠BCA．∠DAB+∠ABC=180°． ∵AC=BC， ∴∠ABC=∠BAC． ∵∠DAC=2∠ABC， ∴2∠ABC+2∠ABC=180°， ∴∠ABC=45° （2）如图2，在AM上截取AE=AB，连接BE和CE． ∵△ACD是等边三角形， ∴AD=AC，∠DAC=60°． ∵∠BAM=60°， ∴∠DAC+∠BAC=∠BAM+∠BAC． 即∠EAC=∠BAD． 在△EAC和△BAD中 AE=AB ∠EAC=∠BAD AC=AD ， ∴△EAC≌△BAD（SAS）， ∴EC=BD． ∵∠BAE=60°，AE=AB=3， ∴△AEB是等边三角形， ∴∠EBA=60°，EB=3， ∵∠ABC=30°， ∴∠EBC=90°． ∵EB=3，BC=4， ∴EC=5． ∴BD=5． 故答案为：45°．