Question

在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F

在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．（1）如图1，若点P在BC边上，此时PD=0，易证PD，PE，PF与AB满足的数量关系是PD+PE+PF=AB；当点P在△ABC内时，先在图2中作出相应的图形，并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系，然后证明你的结论；（2）如图3，当点P在△ABC外时，先在图3中作出相应的图形，然后写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系．（不用说明理由）

Answer 1

（1）结论是PD+PE+PF=AB，
证明：过点P作MN∥BC分别交AB、AC于M、N两点，：
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形PEAF是平行四边形，
∴PF=AE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵MN∥BC，
∴∠ANM=∠C=∠B=∠AMN，
∵PE∥AC，
∴∠EPM=∠FNP，
∴∠AMN=∠FPN，
∴∠EPM=∠EMP，
∴PE=ME，
∵AE+ME=AM，
∴PE+PF=AM，
∵MN∥CB，DF∥AB，
∴四边形BDPM是平行四边形，
∴MB=PD，
∴PD+PE+PF=AM+MB=AB．

（2）如图3，利用（1）中证明方法，即可得出：结论PE+PF-PD=AB．
证明：过点P作MN∥BC分别交AB、AC延长线于M、N两点，：
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形PEAF是平行四边形，
∴PF=AE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵MN∥BC，
∴∠ANM=∠C=∠B=∠AMN，
∵PE∥AC，
∴∠EPM=∠FNP，
∴∠AMN=∠FPN，
∴∠EPM=∠EMP，
∴PE=ME，
∵AE+ME=AM，
∴PE+PF=AM，
∵MN∥CB，DF∥AB，
∴四边形BDPM是平行四边形，
∴MB=PD，
∴PE+PF-PD=AM-MB=AB．