Question

设函数y=f（x）是定义在R + 上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y）， f( 1 3 )=1 ．（1）

设函数y=f（x）是定义在R + 上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y）， f( 1 3 )=1 ．（1）求f（1）的值；（2）如果f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．

Answer 1

（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1）， ∴f（1）=0（4分） （2）∵ f( 1 3 )=1 ∴ f( 1 9 )=f( 1 3 × 1 3 )=f( 1 3 )+f( 1 3 )=2 ∴ f(x)+f(2-x)=f[x(2-x)]＜f( 1 9 ) ， 又由y=f（x）是定义在R + 上的减函数，得： x(2-x)＞ 1 9 x＞0 2-x＞0 解之得： x∈(1- 2 2 3 ，1+ 2 2 3 ) ．   …（12分）

Answer 2

因为f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1
所以f(1/3)=f(1*1/3)=f(1)+f(1/3)
所以f(1)=0
因为f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1
所以f(1/9)=f(1/3*1/3)=f(1/3)+f(1/3)=2
因为f(x)+f(2-x)＜2
所以f(x(2-x))<2
即f(2x-x^2)<2=f(1/9)
因为函数y=f(x)是定义在r+上的减函数
所以2x-x^2>1/9
即9x^2-18x+1>0
所以x>(3+2√2)/3或x<(3-2√2)/3
注意y=f(x)是定义在r+上的减函数，f(x)+f(2-x)＜2，所以x必须还满足x>0,x<2
综上知x的取值范围：0<x<(3-2√2)/3,或者(3+2√2)/3<x<2