Question

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=8，点F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=8，点F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CD．连结DE，DF，EF． 在此运动变化的过程中，下列结论： ①△DFE是等腰直角三角形； ②四边形CDFE不可能为正方形； ③DE长度的最小值为4； ④四边形CDFE的面积保持不变； ⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是_____________．

Answer 1

①④⑤

解；连接CF． ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB， ∵AD=CE， ∴△ADF≌△CEF， ∴EF=DF，∠CFE=∠AFD， ∵∠AFD+∠CFD=90° ∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°， ∴△EDF是等腰直角三角形， ∴①正确； 当D、E分别为AC，BC的中点时，四边形CDEF是正方形， 因此②错误； ∵△ADF≌△CEF， ∴S △ CEF =S △ ADF ， ∴④是正确的； ∵△DEF是等腰直角三角形， ∴当DE最小时，DF也最小， 即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF= BC=4， ∴DE= DF=4 ， ∴③错误； 当△CEF面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小，此时， S △ CDE =S 四边形CEFD -S △ DEF =S △ AFC -S △ DEF =16-8=8， ∴⑤正确．综上所述正确的有①④⑤．