Question

在等比数列{a n }中，a n ＞0（n∈N * ），公比q∈（0，1），且a 1 a 5 +2a 3 a 5 +a 2 a 8 =25，又a 3

在等比数列{a n }中，a n ＞0（n∈N * ），公比q∈（0，1），且a 1 a 5 +2a 3 a 5 +a 2 a 8 =25，又a 3 与a 5 的等比中项为2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =log 2 a n ，数列{b n }的前n项和为S n ，求数列{S n }的通项公式；（3）是否存在k∈N * ，使得 S 1 1 + S 2 2 +…+ S n n ＜k对任意n∈N * 恒成立，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵a 1 a 5 +2a 3 a 5 +a 2 a 8 =25， ∴a 3 2 +2a 3 a 5 +a 5 2 =25， ∴（a 3 +a 5 ） 2 =25， 又a n ＞0，∴a 3 +a 5 =5， 又a 3 与a 5 的等比中项为2， ∴a 3 a 5 =4． 而q∈（0，1）， ∴a 3 ＞a 5 ，∴a 3 =4，a 5 =1， ∴q= 1 2 ，a 1 =16，∴a n =16×（ 1 2 ） n-1 =2 5-n ． （2）∵b n =log 2 a n =5-n，∴b n+1 -b n =-1， b 1 =log 2 a 1 =log 2 16=log 2 2 4 =4， ∴{b n }是以b 1 =4为首项，-1为公差的等差数列， ∴S n = n(9-n) 2 ． （3）由（2）知S n = n(9-n) 2 ，∴ S n n = 9-n 2 ． 当n≤8时， S n n ＞0；当n=9时， S n n =0； 当n＞9时， S n n ＜0． ∴当n=8或9时， S 1 1 + S 2 2 + S 3 3 ++ S n n =18最大． 故存在k∈N * ，使得 S 1 1 + S 2 2 ++ S n n ＜k对任意n∈N * 恒成立，k的最小值为19．