Question

△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足（2a-c）cosB=bcosC．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面

△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足（2a-c）cosB=bcosC．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积为为 3 3 2 ，且b= 3 ，求a+c的值．

Answer 1

（1）又A+B+C=π，即C+B=π-A， ∴sin（C+B）=sin（π-A）=sinA， 将（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC， ∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA， 在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0， ∴cosB= 1 2 ，又0＜B＜π， 则B= π 3 ； （2）∵△ABC的面积为 3 3 2 ，sinB=sin π 3 = 3 2 ， ∴S= 1 2 acsinB= 3 4 ac= 3 3 2 ， ∴ac=6，又b= 3 ，cosB=cos π 3 = 1 2 ， ∴利用余弦定理b 2 =a 2 +c 2 -2accosB得：a 2 +c 2 -ac=（a+c） 2 -3ac=（a+c） 2 -18=3， ∴（a+c） 2 =21， 则a+c= 21 ．