Question

有界数列就是有极限的数列吗?为什么

Answer 1

不是。

有界和有极限是2个概念，有界的数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界，假设存在定值a，任意n有an=b，称数列an有下界b。

如果同时存在a，b，是的数列an的值在区间［a，b］内，数列数列有界，有界的数列不一定有极限，比如an=sinn，an在［-1，1］之间，但是an是一个震荡数列。

有极限的数列是指当n趋向无穷大时，an趋向于一个定值，（注意是“一个”定值，不能是2个，这个可以作为证明一个数列没有极限的反证），所以有极限的数列一定是有界的。

举例

有界数列：

①1，2，3，4

②{1/n}，n=1，2，3...

无界数列：

1，2，3，4，5，6...

sin1,sin2+2……

Answer 2

不是。有界和有极限是2个概念，有界的数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界，假设存在定值a，任意n有an<=a，那么称数列an有上界a，如果存在定值b，对于任意n有an>=b，称数列an有下界b，如果同时存在a，b，是的数列an的值在区间[a,b]内，数列数列有界，有界的数列不一定有极限，比如an=sin n，an在[-1,1]之间，但是an是一个震荡数列。
有极限的数列是指当n趋向无穷大时，an趋向于一个定值，（注意是“一个”定值，不能是2个，这个可以作为证明一个数列没有极限的反证），所以有极限的数列一定是有界的

Answer 3

不一定，极限是n->无穷大时，an的具体的值，
比喻如一个数列an=(-1)^n+1
它的值是：a1=0,a2=2,a3=0,a4=2...
它的所有值都在0与2之间，是有界的数列，但是n->无穷大时，an要么为0要么为2，没有具体的值，因此也没有极限。