Question

设 f ( x )和 g ( x )都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意 x ∈[1,2]，都有| f ( x )＋ g ( x )|≤

设 f ( x )和 g ( x )都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意 x ∈[1,2]，都有| f ( x )＋ g ( x )|≤8，则称 f ( x )和 g ( x )是“友好函数”，设 f ( x )＝ ax ， g ( x )＝ .(1)若 a ∈{1,4}， b ∈{－1,1,4}，求 f ( x )和 g ( x )是“友好函数”的概率；(2)若 a ∈[1,4]， b ∈[1,4]，求 f ( x )和 g ( x )是“友好函数”的概率．

Answer 1

（1） （2）

(1)设事件 A 表示 f ( x )和 g ( x )是“友好函数”， 则| f ( x )＋ g ( x )|( x ∈[1,2])所有的情况有： x － ， x ＋ ， x ＋ ，4 x － ，4 x ＋ ，4 x ＋ ， 共6种且每种情况被取到的可能性相同． 又当 a ＞0， b ＞0时， ax ＋ 在 上递减，在 上递增； x － 和4 x － 在(0，＋∞)上递增， ∴对 x ∈[1,2]可使| f ( x )＋ g ( x )|≤8恒成立的有 x － ， x ＋ ， x ＋ ，4 x － ，故事件 A 包含的基本事件有4种， ∴ P ( A )＝ ＝ ，故所求概率是 . (2)设事件 B 表示 f ( x )和 g ( x )是“友好函数”， ∵ a 是从区间[1,4]中任取的数， b 是从区间[1,4]中任取的数， ∴点( a ， b )所在区域是长为3，宽为3的矩形区域． 要使 x ∈[1,2]时，| f ( x )＋ g ( x )|≤8恒成立， 需 f (1)＋ g (1)＝ a ＋ b ≤8且 f (2)＋ g (2)＝2 a ＋ ≤8， ∴事件 B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分． ∴ P ( B )＝ ， 故所求概率是 .