Question

设椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为 2 2 ，其一个顶点的坐标是（1，0

设椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为 2 2 ，其一个顶点的坐标是（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若斜率为2的直线l过椭圆C在y轴正半轴上的焦点，且与该椭圆交于A、B两点，求AB的中点坐标．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为 y 2 a 2 + x 2 b 2 =1 ，其焦点为（0，±c）（2分） 由已知得 b 2 =1， c a = 2 2 ，（6分） 又a 2 =b 2 +c 2 （8分）∴a 2 =2，c=1 ∴椭圆C的标准方程为 y 2 2 + x 2 =1 （9分） （Ⅱ）直线l的方程为 y-1=2（x-0），即y=2x+1 设A、B两点的坐标分别为A（x 1 ，y 1 ）、B（x 2 ，y 2 ）， AB中点坐标为M（x 0 ，y 0 ） 由 y 2 2 + x 2 =1 y=2x+1 得6x 2 +4x-1=0（12分） ∴ x 1 + x 2 =- 4 6 =- 2 3 ， x 0 = x 1 + x 2 2 =- 1 3 y 0 = y 1 + y 2 2 = x 1 + x 2 +1= 1 3 ∴AB中点坐标为 M(- 1 3 ， 1 3 ) （15分）