Question

已知，如图1，在平面直角坐标系中，OA=OB=OC=2，点P从C点出发，沿y轴正方向以1个单位/秒的速度向上运动，

已知，如图1，在平面直角坐标系中，OA=OB=OC=2，点P从C点出发，沿y轴正方向以1个单位/秒的速度向上运动，连接PA、PB，D为AC的中点．（1）求直线BC的解析式；（2）设点P运动的时间为t秒，问当t为何值时，DB与DP垂直且相等？（3）如图2，若PA=AB，在第一象限内有一动点Q，连接QA、QB、QP，且∠PQA=60°，问：当Q在第一象限内运动时，∠APQ+∠ABQ的度数和是否会发生改变？若不改变，请说明理由，并求其值．

Answer 1

（1）∵OB=OC=2，
∴B（2，0），C（0，2）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，将B、C两点的坐标代入，
得

2k+b＝0 b＝2

，解得

k＝?1 b＝2

，
∴直线BC的解析式为y=-x+2；

（2）当t=2秒，即CP=OC时，DP与DB垂直且相等．理由如下：
如图1，连接OD，作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，
∵A（-2，0），C（0，2），
∴△OAC是等腰直角三角形，
∵D为AC的中点，
∴OD平分∠AOC，OD=DC=

1

2

AC，
∴DM=DN=OM=ON=m．
在△PCD与△BOD中，

PC＝BO＝OC ∠PCD＝∠BOD＝135° DC＝DO＝ 1 2 AC

，
∴△PCD≌△BOD （SAS），
∴DP=DB，∠PDC=∠BDO，
∴∠BDP=∠ODC=90°，
即DP⊥DB；

（3）当Q在第一象限内运动时，∠APQ+∠ABQ的度数和不会发生改变．理由如下：
如图2，在QA上截取QS=QP，连接PS．
∵∠PQA=60°，
∴△QSP是等边三角形，
∴PS=PQ，∠SPQ=60°，
∵PO是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，而PA=AB，
∴PA=PB=AB，
∴∠APB=∠ABP=60°，
∴∠APS=∠BPQ，
∴△APS≌△BPQ（SAS），
∴∠PAS=∠PBQ，
∴∠APQ+∠ABQ=∠APQ+（∠ABP+∠PBQ）=60°+（∠APQ+∠PBQ）=60°+（∠APQ+∠PAS）=60°+120°=180°．