Question

如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC、CD上的点，BE=CF，AF与DE相交于点O，CG⊥DE，垂足为G．（1）求证

如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC、CD上的点，BE=CF，AF与DE相交于点O，CG⊥DE，垂足为G．（1）求证：AD2=AO?AF；（2）若GO：BE=4：5，试确定点F的位置．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=BC，∠ADF=∠DCE=90°，
∵BE=CF，
∴DF=EC．
∴在△ADF与△DCE中，

AD＝DC ∠ADF＝∠DCE DF＝EC

，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠1=∠2，
又∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AOD=90°，
∴△ADO∽△AFD，
∴

AD

AF

=

AO

AD

，即AD²=AO?AF；

（2）解：如图，过F点作FH⊥CG，垂足为H，
由矩形的性质，得FH=OG，
∵BE=CF，GO：BE=4：5，
∴FH：CF=4：5，
∵DE⊥AF，DE⊥CG，∴OF∥CG，
∴∠4=∠5，
∴△ADF∽△FHC，
∴AD：AF=FH：CF=4：5，
在Rt△ADF中，DF：AD=3：4，
故DF：DC=3：4，
即DF=

3

4

DC．