Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足S n＝n2，数列{bn}满足bn＝1anan+1，Tn为数列{bn}的前n项和．（I）求

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足S n＝n2，数列{bn}满足bn＝1anan+1，Tn为数列{bn}的前n项和．（I）求数列{an}的通项公式an和Tn；（II）若对任意的n∈N*不等式λTn＜n+(?1)n恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（I）当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=Sn?Sn?1 =2n-1，验证当n=1时，也成立；
所以，a_n=2n-1，
b_n=

1

anan+1

=

1

(2n?1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n?1

?

1

2n+1

）

所以，T_n=

1

2

[(1?

1

3

)+(

1

3

?

1

5

)+…+(

1

2n?1

?

1

2n+1

)]=

n

2n+1

．
（II）由（I）得：λ＜

(2n+1)[n+(?1)n]

n

，
当n为奇数时，λ＜

(2n+1)(n?1)

n

=2n-

1

n

?1恒成立，
因为当n为奇数时，2n-

1

n

?1单调递增，
所以当n=1时，2n-

1

n

-1取得最小值为0，
此时，λ＜0．
当n为偶数时，λ＜

(2n+1)(n+1)

n

=2n+

1

n

+3恒成立，
因为当n为偶数时，2n+

1

n

+3单调递增，所以当n=2时，2n+

1

n

+3取得最小值为

15

2

，
此时，λ＜

15

2

．
综上所述，对于任意的正整数n，原不等式恒成立，λ的取值范围是（-∞，0）．