Question

已知A，B为三阶方阵，且满足2A-1B=B-4E，其中E是3阶单位矩阵．（1）证明：矩阵A-2E可逆；（2）若B＝1?201

已知A，B为三阶方阵，且满足2A-1B=B-4E，其中E是3阶单位矩阵．（1）证明：矩阵A-2E可逆；（2）若B＝1?20120002，求矩阵A．

Answer 1

（1）证明：
∵2A^-1B=B-4E，
∴两边同乘以A，得：2B=AB-4A，即：AB-2B-4A=0，
从而：（A-2E）（B-4E）=8E，
即：(A?2E)?

1

8

(B?4E)＝E，
∴A-2E可逆，且：(A?2E)?1＝

1

8

(B?4E)，证毕．

（2）
由（1）知：（A-2E）（B-4E）=8E，
从而：A=2E+8（B-4E）^-1，
又：(B?4E)?1＝

?3 ?2 0 1 ?2 0 0 0 ?2

?1=

? 1 4 1 4 0 ? 1 8 ? 3 8 0 0 0 ? 1 2

，
∴A=2E+8（B-4E）^-1=

0 2 0 ?1 ?1 0 0 0 ?2

．