Question

已知分段函数f（x）是奇函数，x∈（0，+∞）时的解析式为f（x）=xx+1．（1）求f（-1）的值；（2）求函数f

已知分段函数f（x）是奇函数，x∈（0，+∞）时的解析式为f（x）=xx+1．（1）求f（-1）的值；（2）求函数f（x）在（-∞，0）上的解析式；（3）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．

Answer 1

（1）f（-1）=-f（1）=-

1

2

；
（2）任取x∈（-∞，0）则-x∈（0，+∞），∴f（-x）=

?x

?x+1

，
∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=

x

?x+1

，x∈（-∞，0）；
（3）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，证明如下：
任取x₁，x₂为区间（0，+∞）上的两个不相等的实数，且x₁＜x₂，
则△x=x₂-x₁＞0，
△y=f（x₂）-f（x₁）=

x2

x2+1

-

x1

x1+1

=

x2?x1

(x2+1)(x1+1)

，
∵x₁＞0，x₂＞0，∴（x₂+1）＞0，（x₁+1）＞0，
又x₂-x₁=△x＞0，
∴△y＞0，
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．