Question

设奇函数f(x)在(0,正无穷大）上为增函数，且f(1)=0,则有不等式f(x)-f(-x)/x小

速度
小于0的解集是？

Answer 1

因为是奇函数f(x)在(0,正无穷大）上为增函数
f(1)=f(-1)=0 当x≥1时 则f（x）≥0 0<x<1时 f（x）<0
所以奇函数f(x)在(负无穷大，0）上为增函数
当x≤-1时 f（x）≤0 -1<x<0时 f（x）>0
f（x）= -f(-x) 则不等式f(x)-f(-x)/x≤0
则f(x)≤f(-x)/x
则f(x)≤ -f(x)/x 由上可知 当x=士1时 不等式f(x)-f(-x)/x≤0 恒成立
当x>1 f（x）>0 f(x)≤ -f(x)/x则1≤ -1/x 则不等式不成立
-1<x<0时 f（x）>0 1≤ -1/x 则x≤1 所以当 -1<x<0时 不等式成立
0<x<1时 f（x）<0 1≥-1/x 显然 不等式成立
当x<-1时 f（x）≤0 1≥-1/x 则x≤-1 所以x<-1
综上所述 当x≤-1 0<x≤1 时 有不等式f(x)-f(-x)/x小于0
则该不等式的解集为x={x/x≤-1 0<x≤1 }

Answer 2

解：∵f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，f(1)＝0，
∴f(x)在(－∞，0)内也是增函数，且f(1)＝0，则xf(x)＜0，
x>0,f(x)<0 (1) 或x<0,f(x)>0(2)
解(1)之：0＜x＜1，解(2)之：－1＜x＜0，
∴xf(x)＜0的解集为-1＜x＜0或0＜x＜1。

Answer 3

奇函数f(x)在(0,正无穷大）上为增函数
则f(-x)=-f(x)
f(x)-f(-x)/x=f(x)+f(x)/x
=f(x)*(x+1)/x<0
因x>0 x+1>0
所以f(x)<0
因f(1)=0，函数单增
则0<x<1时f(x)<0
所以0<x<1

Answer 4

：∵f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，f(1)＝0，
∴f(x)在(－∞，0)内也是增函数，且f(1)＝0，则xf(x)＜0，
当x≤-1时 f（x）≤0 -1<x<0时 f（x）>0
f（x）= -f(-x) 则不等式f(x)-f(-x)/x≤0
则f(x)≤f(-x)/x
x>0,f(x)<0 (1) 或x<0,f(x)>0(2)
解(1)之：0＜x＜1，解(2)之：－1＜x＜0，
∴xf(x)＜0的解集为-1＜x＜0或0＜x＜1