Question

求Matlab高手指点一个多项式拟合问题

我有一个数据列共15个数如下：
22.9000
23.2000
23.0000
24.4000
26.7000
25.0000
25.5000
26.3000
26.1000
26.2000
27.0000
26.3000
28.1000
26.4000
27.8000
令其转置为y；已知这些数对应的序号是线性增加的，比如说是1到15，或者5到19等等，只要是连续的15个正整数就行。

我想要用最小二乘多项式来拟合；
比如x1=1:15;
x2=11:25;
x3=22:36;
x4=11111:11125;
用命令y1=polyval(polyfit(x1,y,14),x1);
y2=polyval(polyfit(x2,y,14),x2);
y3=polyval(polyfit(x3,y,14),x3);
y4=polyval(polyfit(x4,y,14),x4);
按道理来讲，15个数用14阶多项式拟合应该是精确的（就是15个方程确定15个未知数），误差为0；但是现在为什么结果相差很大？改变拟合阶次会发现有时候差别大，有时候差别小。
这组数据是我实验里的数，不是凭空造的。如果把y换成比如1到15的平方，还是用上面的式子拟合，结果4组y值是一样的。如果再随便取一组数[1,3,7,5,6,8,10,9,20,18,10,2,1,3,3],结果又不一样了，非常困惑啊。似乎取x1时相对是最精确的，拟合的曲线几乎总是能完全通过给的15个点。

Answer 1

y1=polyval(polyfit(x1,y,14),x1);
y2=polyval(polyfit(x2,y,14),x2);
y3=polyval(polyfit(x3,y,14),x3);
y4=polyval(polyfit(x4,y,14),x4);

至于说为什么y1，y2,y3,y4为什么与原y值不同，我觉得可能有的原因是：
1.楼主学过线性代数的话，应该知道多元方程组的解和系数矩阵有很大关系，但事实上有些方程组的系数矩阵是病态的，也就是说当系数有很微小的变化，解就会发生显著变化，你可以搜一下。在这种情况下，就会出现上述问题，即15个方程并不能很好的确定15个未知数。因为matlab的计算精度是有限的，这样求出的系数会与真实系数有误差，而这时碰巧系数矩阵是病态的，那么就会因为这很微不足道的误差造成解有很大不同，而如果碰巧系数矩阵不是病态的，那么即使有一点的误差，但反映到解那里或许也是微不足道的，也就会出现上面你说的4组y值近似相等的情况。
不知道我说明白没，有问题可以继续探讨，主要是理论方面的问题，与matlab软件无关。

追问

谢谢。对，您说的这一点我认同。但是我想问一下为什么同样的数，用matlab里面的[p s u]=polyfit(x,y,n);然后再用polyval算拟合值就基本上一致了呢？它对x的处理是[xi-mean(x)]/std(x);您能解释一下这样做的优点吗？从理论的角度。数值分析我不太懂。

追答

x的处理是[xi-mean(x)]/std(x)，本质上就是对x序列做归一化处理。
兄弟，我也是对这方面比较感兴趣而已，没有专门学过，所以归一化的本质我也不是很清楚，只是知道有些时候这样做会得到比较好的效果，有时反而会起到反效果。
具体的你有兴趣的话可以自己研究研究，如果没必要的话也不用搞得太清楚。下面是一个网页你可以参考一下。
http://www.ilovematlab.cn/viewthread.php?tid=27021&extra=page%3D1%26amp%3Bfilter%3D0%26amp%3Borderby%3Ddateline%26amp%3Bascdesc%3DDESC

Answer 2

zijizuo