Question

高中数学轨迹方程

轨迹方程是否可用隐函数表示？。
圆O半径为3，直线l与O相切，一动圆与直线l相切并与圆O相交的公共弦为圆O直径。求动圆圆心轨迹方程？。

常数a＞0.m向量=（0，a），n向量=（1,0）过定点A（0，-a）以m向量+λn向量为方向向量的直线与过定点B（0，a）以n向量+2λm向量为方向向量的直线交于P。λ∈R
1.点P轨迹曲线C方程
2.a=√2/2，过E（0,1)的直线l交曲线C于M,N两点。求EM向量·EN向量取值范围？。

Answer 1

轨迹可以用隐函数表示,但最好不要用参数方程表示。
（1）先建立坐标系：以L为x轴，圆O到L的垂径为y轴，切点为原点建立直角坐标系，且点O在L的上方；则圆O方程为：x^2+(y-3)^2=9；
设所求圆心为点M(a，b)，画草图易知，两圆的相交弦为圆O的直径，应该满足：
R2^2=R1^2+d1^2，或R2^2=R1^2-d^2，（R1，R2为圆O圆M的半径，d1为圆心距OM）
圆M与L相切，则R2=d2，（d2为M到L的距离）
由题及所建坐标系：R1=3，d1^2=a^2+(b-3)^2，d2^2=R2^2=b^2；
所以：b^2=9+a^2+(b-3)^2，或b^2=9-[a^2+(b-3)^2]
得：6b=a^2+18，或a^2+2b^2-6b=0，
所以，所求圆心的轨迹方程是：6y=x^2+18及x^2+2y^2-6y=0两段曲线；
（两段都是，不能用“或”）
（2）m向量+λn向量=(λ，a)，所以L1：y=(a/λ)x-a；
n向量+2λm向量=(1，2λa)，所以L2：y=2λax+a；
L1与L2相交，即y=(a/λ)x-a，y=2λax+a联列方程，
得：x=2λ/(1-2λ^2)，y=a(1+2λ^2)/(1-2λ^2)，这就是点P的横坐标及纵坐标；
题目给定a是常数，λ是参数，所以接下来就是想办法消去参数λ：
对于y=a(1+2λ^2)/(1-2λ^2)中，可得：(1+2λ^2)/(1-2λ^2)=y/a，采用分离常数的方式处理：
(1+2λ^2)/(1-2λ^2)=(2λ^2-1+2)/(1-2λ^2)=-1+2/(1-2λ^2)，
所以-1+2/(1-2λ^2)=y/a，即2/(1-2λ^2)=y/a+1=(y+a)/a；①
而在x=2λ/(1-2λ^2)中，可得：2/(1-2λ^2)=x/λ；②
由①②两式得：x/λ=(y+a)/a，即：λ=ax/(y+a)
把λ=ax/(y+a)代入②式中，整理得：2(ax)^2-(y+a)^2+2a(y+a)=0
即：2(ax)^2-(y+a)^2+2a(y+a)-a^2=-a^2
即：2(ax)^2-[(y+a)-a]^2=-a^2
即：2a^2x^2-y^2=-a^2，同除-a^2得：y^2/a^2-2x^2=1；
即：y^2/a^2-x^2/(1/2)=1
所以：点P轨迹曲线C方程是：y^2/a^2-x^2/(1/2)=1 （是一个双曲线）
第二小题：a=√2/2时，双曲线C为：y^2/(1/2)-x^2/(1/2)=1；焦点为（0，±1）
所以点E（0,1）是C的上焦点；设M(x1，y1)，N(x2，y2)；分类：
（1）L斜率不存在时，易得M(0，√2/2),N(0，-√2/2)
此时得：EM向量·EN向量=1/2；
（2）L斜率存在时，设斜率为k，则L：y=kx+1；
（因为点E在双曲线的内部，所以除了不能等于渐近线的斜率外，不管k为何值，直线L与双曲线都恒有两个焦点，所以k^2≠1）
EM向量=(x1，y1-1)，EN向量=(x2，y2-1)，
所以： EM向量·EN向量=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1
因为点M,N在L上，所以：y1=kx1+1，y2=kx2+1；
则：y1y2=k^2*x1x2+k(x1+x2)+1，y1+y2=k(x1+x2)+2；
所以： EM向量·EN向量=(k^2+1)x1x2；
直线L与双曲线C联列方程：y=kx+1，y^2/(1/2)-x^2/(1/2)=1；
消去y得：(2k^2-2)x^2+4kx+1=0，韦达定理得：x1x2=1/(2k^2-2)；
所以：EM向量·EN向量=(k^2+1)/(2k^2-2)；
令EM向量·EN向量=y=(k^2+1)/(2k^2-2)；
2yk^2-2y=k^2+1，即(2y-1)k^2=2y+1，得：k^2=(2y+1)/(2y-1)
(2y+1)/(2y-1)恒不等于1；
则(2y+1)/(2y-1)≧0，即(2y+1)(2y-1)≧0，得y≦-1/2或y>1/2；
综上，EM向量·EN向量取值范围是：(-∞，-1/2]U[1/2，+∞)

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

若圆O 的圆心为（3，0）Y轴为L
设动园圆心为（x，y)
则(x-3)²+y²+3²=x²
化简得y²-6x+18=0