已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为 1 2 ，一个焦点和抛物线y 2 =-4x的焦

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为12，一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合，过直线l：x=4上一点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A，B．（Ⅰ）求椭... 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为 1 2 ，一个焦点和抛物线y 2 =-4x的焦点重合，过直线l：x=4上一点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A，B．（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；（Ⅱ）若在椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) 上的点（x 0 ，y 0 ）处的椭圆的切线方程是 x 0 x a 2 + y 0 y b 2 =1 ．求证：直线AB恒过定点C；并出求定点C的坐标．（Ⅲ）是否存在实数λ，使得|AC|+|BC|=λ|AC|?|BC|恒成立？（点C为直线AB恒过的定点）若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．展开

 我来答

1个回答

#热议# 空调使用不当可能引发哪些疾病？

黎约绛血Jz
2014-10-09 · 超过53用户采纳过TA的回答

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（I）设椭圆方程为

x 2

a 2

y 2

b 2

=1(a＞b＞0) ．
抛物线y² =-4x的焦点是（-1，0），故c=1，又

，
所以 a=2，b=

a 2 - c 2

，
所以所求的椭圆Ω方程为

x 2

y 2

=1 …（4分）
（II）设切点坐标为A（x₁ ，y₁ ），B（x₂ ，y₂ ），
直线l上一点M的坐标（4，t）．
则切线方程分别为

x 1 x

y 1 y

=1 ，

x 2 x

y 2 y

=1 ．
又两切线均过点M，
即 x 1 +

y 1 =1， x 2 +

y 2 =1 ，
即点A，B的坐标都适合方程 x+

y=1 ，而两点之间确定唯一的一条直线，
故直线AB的方程是 x+

y=1 ，显然对任意实数t，点（1，0）都适合这个方程，
故直线AB恒过定点C（1，0）． …（9分）
（III）将直线AB的方程 x=-

y+1 ，代入椭圆方程，
得 3(-

y+1 ) 2 +4 y 2 -12=0 ，即 (

t 2

+4) y 2 -2ty-9=0
所以 y 1 + y 2 =

t 2 +12

， y 1 y 2 =

-27

t 2 +12

不妨设y₁ ＞0，y₂ ＜0 |AC|=

( x 1 -1) 2 +

(

t 2

+1)

t 2 +9

y 1 ，
同理 |BC|=-

t 2 +9

y 2 …（12分）
所以

|AC|

|BC|

t 2 +9

y 1

y 2

t 2 +9

y 2 - y 1

y 1 y 2

t 2 +9

( y 2 - y 1 ) 2

y 1 y 2

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