Question

已知复数z 1 满足：（1+2i） . z 1 =4+3i，z n+1 -z n =2+2i（n∈N+）．（1）求复数z 1

已知复数z 1 满足：（1+2i） . z 1 =4+3i，z n+1 -z n =2+2i（n∈N+）．（1）求复数z 1 （2）求满足|z n |≤13的最大正整数n．

Answer 1

（1）设z 1 =a+bi（a，b∈R），则 z 1 =a-bi （1+2i）（a-bi）=4+3i a+2b+（2a-b）i=4+3i a+2b=4 2a-b=3 解得： a=2 b=1 ∴z 1 =2+i （2）由z n+1 -z n =2+2i（n∈N * ）得： z 2 -z 1 =2+2i z 3 -z 2 =2+2i z 4 -z 3 =2+2i … z n -z n-1 =2+2i（n∈z，n≥2） 累加得z n -z 1 =2（n-1）+（n-1）i（n∈N * ） z n =2n+（2n-1）i（n∈N * ） |z n |= 4 n 2 + (2n-1) 2 = 8 n 2 -4n+1 令|z n |≤13，即8n 2 -4n+1≤169 2n 2 -n-42≤0 ∴ 1- 1+8×42 4 ≤n≤ 1+ 1+8×42 4 ＜5 ∴n的最大整数取值是4．