如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE． (1) 证明
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AD＝2，求...
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE． (1) 证明：BD⊥平面PAC；(2) 若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．
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| (1)见解析；(2)  . |
| 试题分析：(1)先利用直线与平面垂直的性质定理，得到  和 ，因为 ，所以利用直线与平面垂直的判定定理可知， ；(2)首先分别以射线 ， ， 为 轴， 轴， 轴的正半轴建立空间直角坐标系 ，由直线与平面垂直的性质定理得到 ，那么矩形 为正方形，由此可知此正方形的边的长度，根据坐标系表示四棱锥出各个顶点的坐标，分别求出平面 和平面 的法向量的坐标，根据二面角与其法向量夹角的关系，求得二面角的余弦值，再由同角三角函数的基本关系得到所求二面角的正切值.试题解析：(1)证明 ∵  ， ，∴ ．2分同理由  ，可证得 ．又 ，∴ ． 4分(2)如图，分别以射线 ， ， 为 轴， 轴， 轴的正半轴建立空间直角坐标系 ． 由(1)知 ，又 ， ∴ ．故矩形 为正方形，∴ ． 6分∴  ．∴  ．设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，∴  ，取 ，得 ．∵ ，∴ 为平面 的一个法向量．10分所以  ． &n
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