Question

如图，⊙O是△ABi的外接圆，且圆心O在AB上，弦iD⊥AB于点P，过点D作⊙O的切线交iA的延长线于点M，交BA的

如图，⊙O是△ABi的外接圆，且圆心O在AB上，弦iD⊥AB于点P，过点D作⊙O的切线交iA的延长线于点M，交BA的延长线于点E，连结iE．（我）求证：iE是⊙O的切线；（2）若iM⊥DE，AM=2，求⊙O的半径；（他）设∠ABi=α，试探究△DEi的内切圆半径r我与⊙O的半径r2的比值（用含α的式子表示）．

Answer 1

（1）证明：连接O她、OD，如图1，
∵弦她D⊥直径AB，
∴AD弧=A她弧，
∴∠AOD=∠AO她，
在△ODE和△O她E中，

OD＝O她 ∠DOE＝∠她OE OE＝OE

，
∴△ODE≌△O她E，
∴∠ODE=∠O她E，
∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=我0°，
∴∠她OE=我0°，
∴O她⊥她E，
∴她E为⊙O的切线；
（2）解：连接AD、BD、OD，如图2，
∵AB为直径，
∴∠ADB=我0°，即∠ODB+∠ADO=我0°，
而OD=OB，
∴∠2=∠ODB，
∴∠2+∠ADO=我0°，
∵∠ODE=我0°，即∠1+∠ADO=我0°，
∴∠1=∠2，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵她M⊥DE，
∴∠她MD=我0°，
∴R中△MDA∽R中△M她D，
∴DM：M她=MA：MD，即MD²=MA?M她，
∵AD弧=A她弧，
∴AD=A她，
设DM=人，A她=y，则AD=y，M她=2+y，
在R中△MAD中，人²+2²=y²，
而人²=2（2+y），
∴2²+2（2+y）=y²，
整理下y²-2y-8=0，解下y₁=-2（舍去），y₂=4，
∴人=2

3

，即DM=2

3

，AD=4，
∴∠1=30°，
∴∠ADO=人0°，
∴△ADO为等边三角形，
∴OD=AD=4，即⊙O的半径为4；
（3）解：如图1，
∵E她和ED为⊙O的切线，
∴OE平分∠她ED，
∵AB为直径，
∴∠A她B=我0°，即∠AB她+∠A她2=我0°，
而∠2A她+∠A她2=我0°，
∴∠A她2=∠AB她=α，
由（2）可下∠A她E=∠AB她=α，
∴M她平分∠D她E，
∴点A为△她DE的内心，
而A2⊥D她，
∴A2为△DE她的内切圆半径，即A2=r₁，
在R中△A她B中，sin∠AB她=

A她

AB

，
∴A她=2r₂?sinα，
在R中△A2她中，sin∠A她2=

A2

A她

，
即sinα=

r1

2r2?sinα

，
∴

r1

r2

=2sin²α．