如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，D，E，I分别是CC1，AB，AA1的
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，D，E，I分别是CC1，AB，AA1的中点．（1）求证：面CEI∥平面A1BD；...
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，D，E，I分别是CC1，AB，AA1的中点．（1）求证：面CEI∥平面A1BD；（2）若H为A1B上的动点，CH与平面A1AB所成的最大角的正切值为152，求侧棱AA1的长．
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解：（1）∵E，I分别是AB，AA1的中点，∴EI∥BA1，
∵EI?平面A1BD，BA1?平面A1BD，
∴EI∥平面A1BD，
取BA1的中点G，连接EG，DG，
∴GE平行且等于
| 1 |
| 2 |
∵D是CC1中点，
∴CD平行且等于
| 1 |
| 2 |
∴GE平行且等于CD，
∴四边形GDCE是平行四边形，
∴CE∥GD，
∵CE?平面A1BD，GD?平面A1BD，
∴CE∥平面A1BD，
∵CE∩EI=E，
∴平面A1BD∥面CEI；
（2）∵AA1⊥面ABC，CE?面ABC，
∴AA1⊥CE
又△ABC等边三角形，E是中点，
∴CE⊥AB，CE＝
| ||
| 2 |
| 3 |
所以CE⊥面AA1B，
连接EH，则∠EHC为CH与平面AA1B所成的角，
在Rt△CEH中，tan∠EHC＝
| CE |
| EH |
| ||
| EH |
所以EH最短时∠EHC最大
此时，EH⊥A1B，
∴tan∠EHC＝
| CE |
| EH |
| ||
| EH |
| ||
| 2 |
2
|
