Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的⊙A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段B

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的⊙A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．（1）连接AP，若∠B=30°，且△AEP与△BDP相似，则CE的长为______；（2）若CE=2，BD=BC，则tan∠BPD的值为______．

Answer 1

（1）∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∴△ADE是等边三角形，
在△BDP中，∠ADE=∠B+∠BPD，
即60°=30°+∠BPD，
解得∠BPD=30°，
∴∠B=∠BPD，
∴BD=PD，
∵△AEP与△BDP相似，
∴AE=PE，
∵⊙A的半径为1，
∴PE=1，
在Rt△PCE中，CE=

1

2

PE=

1

2

；

（2）设BD=BC=x，
∵⊙A的半径为1，CE=2，
∴AB=x+1，AC=2+1=3，
∵∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
即3²+x²=（x+1）²，
解得x=4，
过点C作CF∥DP交AB于点F，
则

AE

CE

=

AD

DF

，

BF

DF

=

BC

CP

，
即

1

2

=

1

DF

，
解得DF=2，
∴BF=BD-DF=4-2=2，
又由CF∥DP可得

BF

DF

=

BC

CP

，
即

2

2

=

4

CP

，
解得CP=4，
∴tan∠BPD=

CE

CP

=

2

4

=

1

2

．
故答案为：（1）

1

2

，（2）

1

2

．