Question

设f（x，y）与φ（x，y）均为可微函数，且φy′（x，y）≠0，已知（x0，y0）是f（x，y）在约束条件φ（x

设f（x，y）与φ（x，y）均为可微函数，且φy′（x，y）≠0，已知（x0，y0）是f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0下的一个极值点，下列选项正确的是（　　）A．若fx′（x0，y0）=0，则fy′（x0，y0）=0B．若fx′（x0，y0）=0，则fy′（x0，y0）≠0C．若fx′（x0，y0）≠0，则fy′（x0，y0）=0D．若fx′（x0，y0）≠0，则fy′（x0，y0）≠0

Answer 1

根据题意，可以构建拉格朗日函数：
F（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y）
M（x₀，y₀）是f（x，y）在约束条件下φ（x，y）=0下的一个极值点，
根据拉格朗日函数极值点的条件，在（x₀，y₀）处要满足：

Fx′＝0 Fy′＝0 Fλ′＝0

即：
F_x′=f_x′（x₀，y₀）+λφ_x′（x₀，y₀）=0；
F_y′=f_y′（x₀，y₀）+λφ_y′（x₀，y₀）=0；
因为：φ_y′（x₀，y₀）≠0；于是根据F_y′=f_y′（x₀，y₀）+λφ_y′（x₀，y₀）=0，可以解得：
λ=-

fy′(x0，y0)

φy′(x0，y0)

将λ=-

fy′(x0，y0)

φy′(x0，y0)

代入F_x′=f_x′（x₀，y₀）+λφ_x′（x₀，y₀）=0，得：
f_x′（x₀，y₀）-

fy′(x0，y0)

φy′(x0，y0)

φ_x′（x₀，y₀）=0
即：f_x′（x₀，y₀）=

fy′(x0，y0)

φy′(x0，y0)

φ_x′（x₀，y₀）
当f_x′（x₀，y₀）=0时，有φ_x′（x₀，y₀）=0或者f_y′（x₀，y₀）=0；
当f_x′（x₀，y₀）≠0时，有：φ_x′（x₀，y₀）f_y′（x₀，y₀）≠0，则必有：φ_x′（x₀，y₀）≠0且f_y′（x₀，y₀）≠0．
A选项为当f_x′（x₀，y₀）=0时，f_y′（x₀，y₀）可能等于0，而不是一定等于0，故A不对．
B选项为当f_x′（x₀，y₀）=0时，f_y′（x₀，y₀）可能不等于0，而不是一定不等于0，故B不对．
C选项为当f_x′（x₀，y₀）≠0时，f_y′（x₀，y₀）必不等于0，故C不对．
D选项为当f_x′（x₀，y₀）≠0时，f_y′（x₀，y₀）必不等于0，故D对．
故选：D．

Answer 2

简单分析一下，详情如图所示