Question

已知函数f（x）=log4（ax2+2x+3）（1）若f（1）=1，求f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使f（x）的

已知函数f（x）=log4（ax2+2x+3）（1）若f（1）=1，求f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵f（x）=log₄（ax²+2x+3）且f（1）=1，
∴log₄（a?1²+2×1+3）=1?a+5=4?a=-1
可得函数f（x）=log₄（-x²+2x+3）
∵真数为-x²+2x+3＞0?-1＜x＜3
∴函数定义域为（-1，3）
令t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
可得：当x∈（-1，1）时，t为关于x的增函数；
当x∈（1，3）时，t为关于x的减函数．
∵底数为4＞1
∴函数f（x）=log₄（-x²+2x+3）的单调增区间为（-1，1），单调减区间为（1，3）
（2）设存在实数a，使f（x）的最小值为0，
由于底数为4＞1，可得真数t=ax²+2x+3≥1恒成立，
且真数t的最小值恰好是1，
即a为正数，且当x=-

2

2a

=-

1

a

时，t值为1．
∴

a＞0 a( ? 1 a )2+2(? 1 a )+3 ＝1

?

a＞0 ? 1 a +2 ＝0

?a=

1

2

因此存在实数a=

1

2

，使f（x）的最小值为0．